Индуктивное сопротивление колебательного контура формула

Колебательный контур — электрическая цепь, в которой могут возникать колебания с частотой, определяемой параметрами цепи.

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно или последовательно.

— Конденсатор C – реактивный элемент. Обладает способностью накапливать и отдавать электрическую энергию.
— Катушка индуктивности L – реактивный элемент. Обладает способностью накапливать и отдавать магнитную энергию.

Свободные электрические колебания в параллельном контуре.

Основные свойства индуктивности:

— Ток, протекающий в катушке индуктивности, создаёт магнитное поле с энергией .
— Изменение тока в катушке вызывает изменение магнитного потока в её витках, создавая в них ЭДС, препятствующую изменению тока и магнитного потока.

Период свободных колебаний контура LC можно описать следующим образом:

Если конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения U, потенциальная энергия его заряда составит.
Если параллельно заряженному конденсатору подключить катушку индуктивности L, в цепи пойдёт ток его разряда, создавая магнитное поле в катушке.

Магнитный поток, увеличиваясь от нуля, создаст ЭДС в направлении противоположном току в катушке, что будет препятствовать нарастанию тока в цепи, поэтому конденсатор разрядится не мгновенно, а через время t1, которое определяется индуктивностью катушки и ёмкостью конденсатора из расчёта t1 = .
По истечении времени t1, когда конденсатор разрядится до нуля, ток в катушке и магнитная энергия будут максимальны.
Накопленная катушкой магнитная энергия в этот момент составит.
В идеальном рассмотрении, при полном отсутствии потерь в контуре, EC будет равна EL. Таким образом, электрическая энергия конденсатора перейдёт в магнитную энергию катушки.

Изменение (уменьшение) магнитного потока накопленной энергии катушки создаст в ней ЭДС, которая продолжит ток в том же направлении и начнётся процесс заряда конденсатора индукционным током. Уменьшаясь от максимума до нуля в течении времени t2 = t1, он перезарядит конденсатор от нуля до максимального отрицательного значения (-U).
Так магнитная энергия катушки перейдёт в электрическую энергию конденсатора.

Описанные интервалы t1 и t2 составят половину периода полного колебания в контуре.
Во второй половине процессы аналогичны, только конденсатор будет разряжаться от отрицательного значения, а ток и магнитный поток сменят направление. Магнитная энергия вновь будет накапливаться в катушке в течении времени t3, сменив полярность полюсов.

В течении заключительного этапа колебания (t4), накопленная магнитная энергия катушки зарядит конденсатор до первоначального значения U (в случае отсутствия потерь) и процесс колебания повторится.

В реальности, при наличии потерь энергии на активном сопротивлении проводников, фазовых и магнитных потерь, колебания будут затухающими по амплитуде.
Время t1 + t2 + t3 + t4 составит период колебаний .
Частота свободных колебаний контура ƒ = 1 / T

Частота свободных колебаний является частотой резонанса контура, на которой реактивное сопротивление индуктивности XL=2πfL равно реактивному сопротивлению ёмкости XC=1/(2πfC).

Расчёт частоты резонанса LC-контура:

Предлагается простой онлайн-калькулятор для расчёта резонансной частоты колебательного контура.

Необходимо вписать значения и кликнуть мышкой в таблице.
При переключении множителей автоматически происходит пересчёт результата.

Расчёт ёмкости:

Расчёт индуктивности:

Похожие страницы с расчётами:

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Если источник сигнала подключен параллельно элементам L и С, то контур называется параллельным.

При параллельном включении напряжение действующее на L и С одно и тоже, а токи протекающие в L и С разные.

В идеальном контуре без потерь в случае равенства ХС и ХLС и ІL), суммарный ток обращается в 0, то есть сопротивление контура приближается к бесконечности.

Если же частота сигнала спадает, то ХС становится больше чем XL, следовательно IС

Кроме последовательного и параллельного контуров, называемых контурами 1-го вида, в радиотехнике часто применяют контуры П-го и Ш-го вида.

Особенностью контуров П-го вида является то, что у них есть две резонансные частоты f0посл и f0пар.

Например в контуре с двумя индуктивностями можно определить такую частоту (ωпосл), на которой L2 и С образуют последовательный колебательный контур, но на частотах ниже ωпосл общее реактивное сопротивление цепи L2C(x) имеет емкостной характер. Следовательно вместе с L1 цепь L2C образует параллельный колебательный контур. Частота последовательного резонанса определяется из условия:

параллельного резонанса из условия:

Аналогично в контуре с двумя конденсаторами в цепи: C2L наблюдается последовательный резонанс при условии ωL = 1/ωС2 и параллельный резонанс при условии .

Читайте также:  Как менять патрон в люстре

Эквивалентное сопротивление контуров П-го и Ш-го вида (R0e), при параллельном резонансе меньше, чем у контура 1-го вида с теми же элементами.

Например если в контуре П-го вида с двумя катушками L1 = L2 = L, то R0e для контура 1-го вида , а для контура П-го вида будет , то есть в четыре раза меньше.

Если обозначить отношение — коэффициент включения, то получится:

*

где р ≤ 1 — коэффициент включения.

Это соотношение справедливо также для контура Ш-го вида с двумя конденсаторами только в этом случае:

Из выражения * видно что для контура П-го и Ш-го вида шунтирующее действие внешней нагрузки ослабляется в 1/р 2 раз.

Подключение к параллельному контуру (либо к отдельному конденсатору или индуктивности) источника сигнала с внутренним сопротивлением Ri, либо другого внешнего сопротивления, уменьшит его сопротивление.

Например если к контуру с сопротивлением R = p 2 /r подключить источник сигнала с сопротивлением Rі = R0e, тогда эквивалентное сопротивление контура уменьшится в два раза (при )

Но это равносильно тому, что в контуре увеличилось сопротивление потерь r в два раза.

Следовательно между шунтирующим внешним сопротивлением и сопротивлением потерь существует обратно пропорциональная зависимость. Таким образом если к параллельному контуру подключено внешнее шунтирующее сопротивление Rш, то это равносильно включению дополнительного сопротивления последовательно с катушкой индуктивности, ухудшающего добротность контура.

Например есть контур у которого:

ρ = ХLC =100 Ом, на частоте 1000кГц, и r =1Ом.

Тогда Q = ρ/2 =100, П = 2Δf = f/Q =1000/100 =10Кгц

R0e = ρ 2 /r = 10 кОм.

Если к этому контуру подключить источник сигнала (например антенну) с внутренним сопротивлением 1100 Ом, то это равносильно включению дополнительного сопротивления потерь.

Теперь

Таким образом пропускание увеличилось в 10 раз. Если же теперь подключить антенну к отводу от 1/10 витков, то

При этом полоса почти не расширяется, но ослабляется входящий сигнал из-за падения напряжения на Rі, при малом Rвх.

Связанные колебательные контуры

Контуры называются связанными, если энергия одного из них через элемент связи передается во второй. Элементом связи может быть, например магнитное поле, которое пересекает обороты катушки двух колебаний контуров, такая связь называется трансформаторной.

Если в первый контур подавать сигнал (U) с частотой равной резонансным частотам этих контуров, то в первом контуре возникнет ток І1 совпадающий с фазой U. Этот ток создает в катушке L1 магнитный поток Ф, который пересекает витки катушки L2 и вызовет в ней ЭДС взаимоиндукции U1,2:

, т.к. , то , где М – взаимоиндуктивность.

Эта ЭДС вызовет ток І2 совпадающий по фазе с U1,2 (при резонансе R – активное). Ток І2 вызовет ЭДС взаимоиндукции (U2,1) катушки L1.

Эта ЭДС направленная против U, поэтому суммарное напряжение и ток І1 уменьшается. Это равнозначно тому, что увеличилось сопротивление потерь Rn1 в первом контуре. Таким образом, второй контур как бы вносит сопротивление в первый, причем тем большее, чем больше взаимоиндукция (М). Если частота сигнала не отвечает резонансным частотам контуров, то вносимое сопротивление будет иметь активную и реактивную составляющие.

Если f сигнала f контуров, то их сопротивление носит индуктивный характер, а токи в обоих контурах отстают от напряжений.

В этом случае ЭДС U2,1 также имеет активную (U2,1А) и реактивную (U2,1Р) составляющие, поэтому вносится активное и реактивное сопротивление. Причем реактивная составляющая направлена против ЭДС самоиндукции катушки L1, то есть уменьшит напряжение на ней, поэтому реактивное внесенное сопротивление имеет емкостной характер.

Кроме трансформаторной связи между контурами может быть автотрансформаторная связь, и связь за счет внутренней и внешней емкости.

При любом виде связи, связь осуществляется путем сопротивления связи.

При трансформаторной связи, сопротивление связи определяется взаимоиндуктивностью.

При индуктивной связи, сопротивление связи определяется катушкой связи.

При индуктивной внутриемкостной связи, сопротивление связи зависит от емкости связи.

Аналогично, при зовніємнісному связи.

При любом виде связи, степень связи количественно оценивается коэффициентом связи.

,

где Хсв – реактивное сопротивление элемента связи. Х1, Х2 – реактивное сопротивление элементов контуров, которые имеют такой же характер, как и Хсв.

— Для трансформаторной связи:

.

— Для автотрансформаторной связи:

— Для внутриемкостной связи:

— Для внешнеемкостной связи:

Чем больше степень связи между контурами (Ксв), тем больше вносимые сопротивления. Так как вносимое сопротивление имеет иной характер, чем сопротивление контура при расстройке (при f Ккритич в форме АЧХ на fо появляется провал из-за того, что Rвнес возрастает и становится больше, чем Rвнес на частотах частотных резонансов. При К = Ккритич ,Rвнес= Rп1. Это условие выполняется и на частотах связи.

Читайте также:  Как печь пирожки в газовой духовке

Качественные показатели связанных контуров определяются в зависимости от того, какие требования предъявляются к ним.

Чаще всего от связанных контуров требуется обеспечить определенную полосу пропускания при высокой крутизне АЧХ. В связанных контурах П (полоса) определяется не только через f и Q, а и через Ксв. При очень маленькой связи (Ксв Ккр ток І2 уменьшается т.к. ток І1 тоже уменьшается, a Rвнес из первого во второй контур увеличивается

Электрические фильтры и их классификация

Электрический фильтр – это устройство пропускающее сигналы определенных частот.

Электрические фильтры обычно используются для выделения требуемых гармонических составляющих из несинусоидальных сигналов.

Частоты, которые фильтры пропускают (должны пропускать) без заметного ослабления, составляют полосу пропускания фильтра.

Частоты, которые фильтры не пропускают составляют полосу задерживания фильтра.

Частота разделяющая полосу пропускания и полосу задерживания называется частотой среза.

В зависимости от того какие частоты пропускает фильтр, различают фильтры низких и верхних частот, а также полосовые и ре-электронные фильтры.

Любой фильтр можно характеризовать либо коэффициентом , либо вносимым затуханием .

Причем в полосе пропускания коэффициент передачи должен быть максимальным и постоянным, а в полосе задерживания – минимальным (нулевым).

Все реальные фильтры не обеспечивают нулевого коэффициента передачи в полосе задерживания и постоянного коэффициента передачи в полосе пропускания.

Существует несколько различных видов фильтров. Например: RC, LC, CL, кварцевые, пьезоэлектрические, электромеханические и др.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9021 — | 7253 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

В прошлой статье мы с вами рассмотрели последовательный колебательный контур, так как все участвующие в нем радиоэлементы соединялись последовательно. В этой же статье мы рассмотрим параллельный колебательный контур, в котором катушка и конденсатор соединяются параллельно.

Параллельный колебательный контур на схеме

На схеме идеальный колебательный контур выглядит вот так:

В реальности у нас катушка обладает приличным сопротивлением потерь, так как намотана из провода, да и конденсатор тоже имеет некоторое сопротивление потерь. Потери в емкости очень малы и ими обычно пренебрегают. Поэтому оставим только одно сопротивление потерь катушки R. Тогда схема реального колебательного контура примет вот такой вид:

R – это сопротивление потерь контура, Ом

L – собственно сама индуктивность, Генри

С – собственно сама емкость, Фарад

Работа параллельного колебательного контура

Давайте подцепим к генератору частоты реальный параллельный колебательный контур

Что будет, если мы подадим на контур ток с частотой в ноль Герц, то есть постоянный ток? Он спокойно побежит через катушку и будет ограничиваться лишь сопротивлением потерь R самой катушки. Через конденсатор ток не побежит, потому что конденсатор не пропускает постоянный ток. Об это я писал еще в статье конденсатор в цепи постоянного и переменного тока.

Давайте тогда будем добавлять частоту. Итак, с увеличением частоты у нас конденсатор и катушка начнут оказывать реактивное сопротивление электрическому току.

Реактивное сопротивление катушки выражается по формуле

а конденсатора по формуле

Более подробно про это можно прочитать в этой статье.

Если плавно увеличивать частоту, то можно понять из формул, что в самом начале при плавном увеличении частоты конденсатор будет оказывать бОльшее сопротивление, чем катушка индуктивности. На какой-то частоте реактивные сопротивления катушки XL и конденсатора XC уравняются. Если далее увеличивать частоту, то уже катушка уже будет оказывать большее сопротивление, чем конденсатор.

Резонанс параллельного колебательного контура

Очень интересное свойство параллельного колебательного контура заключается в том, что при ХL = ХС у нас колебательный контур войдет в резонанс. При резонансе колебательный контур начнет оказывать большее сопротивление переменному электрическому току. Еще часто это сопротивление называют резонансным сопротивлением контура и оно выражается формулой:

Rрез – это сопротивление контура на резонансной частоте

L – собственно сама индуктивность катушки

C – собственно сама емкость конденсатора

R – сопротивление потерь катушки

Формула резонанса

Для параллельного колебательного контура также работает формула Томсона для резонансной частоты как и для последовательного колебательного контура:

Читайте также:  Информация о измерительных инструментах

F – это резонансная частота контура, Герцы

L – индуктивность катушки, Генри

С – емкость конденсатора, Фарады

Как найти резонанс на практике

Ладно, ближе к делу. Берем паяльник в руки и спаиваем катушку и конденсатор параллельно. Катушка на 22 мкГн, а конденсатор на 1000пФ.

Итак, реальная схема этого контура будет вот такая:

Для того, чтобы все показать наглядно и понятно, давайте добавим к контуру последовательно резистор на 1 КОм и соберем вот такую схему:

На генераторе мы будет менять частоту, а с клемм X1 и X2 мы будем снимать напряжение и смотреть его на осциллографе.

Нетрудно догадаться, что у нас сопротивление параллельного колебательного контура будет зависеть от частоты генератора, так как в этом колебательном контуре мы видим два радиоэлемента, чьи реактивные сопротивления напрямую зависит от частоты, поэтому заменим колебательный контур эквивалентным сопротивлением контура Rкон.

Упрощенная схема будет выглядеть вот так:

Интересно, на что похожа эта схема? Не на делитель ли напряжения? Именно! Итак, вспоминаем правило делителя напряжения: на меньшем сопротивлении падает меньшее напряжение, на бОльшем сопротивлении падает бОльшее напряжение. Какой вывод можно сделать применительно к нашему колебательному контуру? Да все просто: на резонансной частоте сопротивление Rкон будет максимальным, вследствие чего у нас на этом сопротивлении “упадет” бОльшее напряжение.

Начинаем наш опыт. Поднимаем частоту на генераторе, начиная с самых маленьких частот.

Как вы видите, на колебательном контуре “падает” малое напряжение, значит, по правилу делителя напряжения, можно сказать, что сейчас у контура малое сопротивление Rкон

Добавляем частоту. 11,4 Килогерца

Как вы видите, напряжение на контуре поднялось. Это значит, что сопротивление колебательного контура увеличилось.

Добавляем еще частоту. 50 Килогерц

Заметьте, напряжение на контуре повысилось еще больше. Значит его сопротивление еще больше увеличилось.

Обратите внимание на цену деления одного квадратика по вертикали, по сравнению с прошлым опытом. Там было 20мВ на один квадратик, а сейчас уже 500 мВ на один квадратик. Напряжение выросло, так как сопротивление колебательного контура стало еще больше.

И вот я поймал такую частоту, на которой получилось максимальное напряжение на колебательном контуре. Обратите внимание на цену деления по вертикали. Она равняется двум Вольтам.

Дальнейшее увеличение частоты приводит к тому, что напряжение начинает падать:

Снова добавляем частоту и видим, что напряжение стало еще меньше:

Разбираем частоту резонанса

Давайте более подробно рассмотрим эту осциллограмму, когда у нас было максимальное напряжение с контура.

Что здесь у нас произошло?

Так как на этой частоте был всплеск напряжения, следовательно, на этой частоте параллельный колебательный контур имел самое высокое сопротивление Rкон. На этой частоте ХL = ХС. Потом с ростом частоты сопротивление контура снова упало. Это и есть то самое резонансное сопротивление контура, которое выражается формулой:

Резонанс токов

Итак, давайте допустим, мы вогнали наш колебательный контур в резонанс:

Чему будет равняться резонансный ток Iрез ? Считаем по закону Ома:

Но самый прикол в том, что у нас при резонансе в контуре появляется свой собственный контурный ток Iкон , который не выходит за пределы контура и остается только в самом контуре! Так как с математикой у меня туго, поэтому я не буду приводить различные математические выкладки с производными и комплексными числами и объяснять откуда берется контурный ток при резонансе. Именно поэтому резонанс параллельного колебательного контура называется резонансом токов.

Добротность

Кстати, этот контурный ток будет намного больше, чем ток, который проходит через контур. И знаете во сколько раз? Правильно, в Q раз. Q – это и есть добротность! В параллельном колебательном контуре она показывает во сколько раз сила тока в контуре Iкон больше сила тока в общей цепи Iрез

Если сюда еще прилепить сопротивление потерь, то формула примет вот такой вид:

R – сопротивление потерь на катушке, Ом

Заключение

Ну и в заключении хочу добавить, что параллельный колебательный контур применяется в радиоприемном оборудовании, где надо выделить частоту какой-либо станции. Также с помощью колебательного контура можно построить различные резонансные фильтры, которые бы выделяли нужную нам частоту, а другие частоты пропускали бы через себя, что в принципе мы и делали в нашем опыте.

Оставьте первый комментарий

Оставить комментарий

Ваш электронный адрес не будет опубликован.


*